0812算法 - 动态规划08

121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

思路

对于股票买卖，任意一天只能是两种形式：1.持有（买入、持有）；2.未持有（观望、卖出）

1. dp数组及其下标含义：对于两种状态
   1. dp[i][0]：持有股票下，第 i 天的最大资金
   2. dp[i][1]：未持有股票下，第 i 天的最大资金
2. 递推公式：同理，两个形式各自可由两种状态推出
   1. 持有股票dp[i][0]时：
      1. 昨天(i-1)就已经持有股票，那么保持现状资金=dp[i-1][0]
      2. 今天(i)才买入股票，那么资金就是买入后的-prices[i]
      3. 因此应选择资金最多的dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -price[i]
   2. 未持有股票dp[i][1]时：
      1. 昨天(i-1)就未持有股票，那么保持现状资金=dp[i-1][1]
      2. 今天(i)才卖出股票，那么资金就是卖出后的prices[i] + dp[i - 1][0]
      3. 因此应选择资金最多的dp[i][1] = max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]
   3. PS：肯定只能先买入才能带成本卖出，因此买入和卖出的dp公式不同
3. 数组初始化：根据两个递推公式，取决于dp[0][1]和dp[0][0]
   1. dp[0][0]：第0天持有股票，只能当天买入，因此 = -price[0]
   2. dp[0][1]：第0天不持有股票，那就是资金为0
4. 遍历顺序：dp[i]由dp[i-1]推导，一定是从前向后遍历
5. 举例推导：以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

最终结果的最大收益一定是dp[5][1]，因为本题还没有考虑其他手续费，股票再便宜也是卖了比不卖强

代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size()==0) return 0;

        // 定义与初始化
        vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(2));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        // 迭代体
        for(int i=1; i<prices.size(); i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]);
        }

        // 返回最大值
        return dp[prices.size()-1][1];
    }
};

122. 买卖股票的最佳时机 II

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

思路

自本题开始，股票可以买卖多次了！但仍只有一支股票。 唯一的区别反映在当天持有买入的时候，由于之前只能买卖一次，唯一的买入必在唯一的卖出之前，因此无需记录买入之前的资金情况，而卖出是始终需要考虑的

1. dp数组及其下标含义：同样分为持股资金dp[i][0]和未持股资金dp[i][1]
2. 递推公式：与上题唯一的区别出现在此处：
   1. 持有股票dp[i][0]时：
      1. 若为之前持有，则资金不变为 dp[i-1][0]
      2. 若为今日买入，那就需要考虑之前是否已经买卖过而产生了成本prices[i]以外的资金变化，为dp[i-1][1]-price[i]
      3. 此时持有股票下的递推公式变为 dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]
   2. 未持有股票时逻辑不变，为dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]
3. 数组初始化：同dp[0][0] = -prices[i]; dp[0][1] = 0;
4. 遍历顺序：同为从前向后遍历

代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int size = prices.size();
        
        vector<vector<int>>dp(size, vector<int>(2));
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for(int i=1; i<size; i++){
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]);
        }

        return dp[size-1][1];
    }
};

123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 **两笔 **交易。

注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

思路

区别于 买卖I（必须且仅交易一次），买卖II（必须但可交易1~n次），买卖III 规定至多买卖两次，因此它是支持不买卖的！

为了避免一个递增数组导致买卖次数超出两次，该问题的可选状态只能有五个：

• 0.还未操作
• 1.第一轮的持有股票状态
• 2.第一轮的未持有股票状态
• 3.第二轮的持有股票状态
• 4.第二轮的未持有股票状态

注意体会它跟买卖一二的状态差异：5种 (0~4) vs. 2种 (0&1)

1. dp数组及其下标含义：第i天在第j种状态下的最大资金为dp[i][j]，其中j为上述五种状态【0~4】
2. 递推公式：可以看出这五种状态之间存在时间序列关系（因为题目仍要求仅能同时持有一次，必须先卖出才能下次买入），例如第一次到达状态3时，其上一个状态必定是2
   1. 状态1: ( a.沿用之前买入，b.今天买入) ： max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
   2. 状态2: ( a.沿用之前卖出，b.今天卖出)： max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i]);
   3. 状态3: ( a.沿用之前买入，b.今天买入)： max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
   4. 状态4: ( a.沿用之前卖出，b.今天卖出)： max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] - prices[i]);
3. 数组初始化：取决于第0天的五种状态
   1. 无操作：易得 dp[0][0] = 0
   2. 第一轮持有：开局就买入dp[0][1] = -price[0]
   3. 第一轮未持有，第二轮持有/未持有：只不过是左右倒手，反复买卖： dp[0][2] = dp[0][4] = 0; dp[0][3] = dp[0][1] = -price[0]
4. 遍历顺序：同理为从前向后
5. 举例推导：以一个递增数列[1,2,3,4,5]为例：

代码实现

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int size = prices.size();
        
        vector<vector<int>>dp(size, vector<int>(5,0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];

        for(int i=1; i<size; i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
        }

        return dp[size-1][4];
    }
};

后记

股票买卖问题的核心还是在于状态的分解，本组题目限定可选且仅能持有一支股票，因此每个时刻的可选状态都能够划分为一个有限集合（是否持有？顺沿持有还是当天购入持有？），此时只要确定好初始状态，自i-1向i逐步推算即可

参考

• 代码随想录：https://www.programmercarl.com/
• OI Wiki：https://oi-wiki.org/ds/
• Data Structure Visualizations

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