188. 买卖股票的最佳时机 IV
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
思路
这就是昨天买卖股票III的升级版，从限定最多2次到最多k次，难点就在于，k作为任意一个数值，如何像k=2一样划分出确定的5种状态？
这就需要分析状态编号的排布，找出状态编号的内部规律：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
……
可以看出奇数为买入，偶数为卖出，且
j的范围就是2*k+1
- dp数组及其下标含义：第
i天的状态为j，其最大资金为dp[i][j] - 递推公式：同理，无论是买入卖出，每一天的状态都可以分为 “顺沿自前一天” 和 “当天操作” 两类，
i(当天)，i-1(昨天)，j(当前状态)，j-1(上一状态)- 昨日顺沿：时间变化，状态不变，
dp[i-1][j] - 当天操作：时间变化，状态变化，
dp[i-1][j-1]
- 昨日顺沿：时间变化，状态不变，
- 数组初始化：由于规定只能出售掉才能购买，在第0天的任意一次买入前都有n=[0,k-1]次完整的买卖操作，因此
dp[0][j] = -prices[0]（j为任意奇数）dp[0][j] = 0（j为任意偶数） - 遍历顺序：同理，
dp[i]依靠dp[i-1]的数值，从前向后遍历 - 举例推导：以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。
代码实现
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(2*k+1, 0));
for(int j=1; j<2*k; j+=2){
dp[0][j] = -prices[0];
}
for(int i=1; i<prices.size(); i++){
for(int j=0; j<2*k-1; j+=2){
dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);
dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);
}
}
return dp[prices.size()-1][2*k];
}
};
309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 <em>i</em> 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意： 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
思路
同样从股票买卖在每一天所有可能状态的角度分析
难点在于加入冷静期，卖出状态后的一段时间，可选的状态变为了两种：“主动保持卖出状态不持有” 和 “冷静期无法操作”，其中冷冻期状态不可持续，仅存在一天！
状态转换图如上，具体可以区分出如下四个状态：
- 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
- 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态三：今天卖出股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
- dp数组及其下标含义：同理，第
i天的状态为j，其最大资金为dp[i][j] - 递推公式：根据状态转换图分析：
- 状态一：持有状态，分为 “顺沿前一天持有” 和 “今天买入”，由于冷静期，“今天买入”的前一天状态又可分为“前一天为冷冻期” 和 “前一天主动未持有”
- 状态二：未持有状态，分为 “顺沿前一天未持有” 和 “前一天为冷静期”
- 状态三：卖出状态，只有一种可能，前一天为状态一持有状态
- 状态四：冷冻期，只有一种可能，前一天为状态三卖出状态
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
除了之前出现过的持有和未持有状态 + 题目要求的冷静期，还新引入了一个卖出状态，它是冷冻期的特定上一状态，因未持有状态出现分支而定义
- 数组初始化：同
dp[0][0] = -prices[i];dp[0][1] = 0; - 遍历顺序：同为从前向后遍历
- 举例推导：以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：
最后只要是非持有股票的状态，都有可能是最大值，因此最终输出要从最后一天的状态二三四中取最大值。
代码实现
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
vector<vector<int>>dp(prices.size(), vector<int>(4,0));
dp[0][0] = -prices[0];
for(int i=1; i<prices.size(); i++){
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], max(dp[i-1][3]-prices[i], dp[i-1][1]-prices[i]));
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]);
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i-1][2];
}
return max(dp[prices.size()-1][1], max(dp[prices.size()-1][2], dp[prices.size()-1][3]));
}
};
714. 买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意： 这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2 输出：8 解释：能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] = 1 在此处卖出 prices[3] = 8 在此处买入 prices[4] = 4 在此处卖出 prices[5] = 9 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
思路
本题支持任意次数买卖，跟 122.买卖股票的最佳时机 II 的唯一别就是加入了手续费，其实只要在递推公式位置比较max时，额外减去一个手续费即可
- dp数组及其下标含义：同理，
- 递推公式：
- 数组初始化：取决于第0天的五种状态
- 无操作：易得
dp[0][0] = 0 - 第一轮持有：开局就买入
dp[0][1] = -price[0] - 第一轮未持有，第二轮持有/未持有：只不过是左右倒手，反复买卖：
dp[0][2] = dp[0][4] = 0;dp[0][3] = dp[0][1] = -price[0]
- 无操作：易得
- 遍历顺序：同理为从前向后
- 举例推导：以一个递增数列[1,2,3,4,5]为例：
代码实现
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
int n = prices.size();
vector<vector<int>>dp(n, vector<int>(2,0));
dp[0][0] = -prices[0];
for(int i=1; i<n; i++){
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]-fee);
}
return dp[n-1][1];
}
};
后记
股票买卖问题的核心还是在于状态的分解，本组题目限定可选且仅能持有一支股票，因此每个时刻的可选状态都能够划分为一个有限集合（是否持有？顺沿持有还是当天购入持有？），此时只要确定好初始状态，自i-1向i逐步推算即可
今天本组题目对买卖股票问题进行了复杂化，主要从三个方向：
- 买卖次数为任意数——改为构建具有编号规则的
j种状态，而非固定5种 - 加入冷静期——引入新的状态转移，影响到了未持有状态中的顺沿和买入，虽固定个数但需要重新设计
- 加入手续费——最简单，只需要为当天卖出的式子后面减去一个手续费即可
